deminy 在 周二, 2005-11-08 13:17 提交
前两个星期上557（几何算法）的课程，想起来一个概率问题：a、b、c三个数字比大小，几率均等，c为最大值的概率是多少？
解法一：三者中任何一个都有可能为最大而且几率均等，所以c为最大值的概率是1/3。
解法二：c要为最大值，则需要c>a且c>b。c>a的概率是1/2，c>b的概率是1/2。所以(c>a且c>b)的概率是(1/2)*(1/2)=1/4。因此，c为最大值的概率是1/4。
显然，从常理来讲解法一是对的。但是解法二为什么是错的呢？
糊涂中……
[补充说明] Ben提供的参考答案见此。2005-11-08 18:46:03
评论
Ben (未验证)
周二, 2005-11-08 14:56
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c>a 和c>b并不是独立的，所以不能用p(a,b)=p(a)*p(b)来计算，要用p(a,b)=p(a|b)*p(b)
那么要计算p(c>a|c>b)，也就是：在c>b的时候，c>a的概率是多少？
当c>b的时候，有两种可能：
1, b>a，那么当然c>a
2, b<a.这时候c>a的可能性是多少呢？
这两种可能的概率都是1/2，也就是说，当c>b的时候，c>a的可能大于1/2。
我只能算出大于1/2，但是不知道多少。
（这学期我也在学概率）
deminy (未验证)
周二, 2005-11-08 15:06
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我知道这两者应该不孤立，但是建立不起来他们之间的正确联系。
<i>[补充说明] 此留言试图回答“<a href="/msg/blog/0000/00000692.php">一个困扰我的概率问题</a>”一文中所提到的问题。</i>
Ben (未验证)
周二, 2005-11-08 15:23
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c>a 和c>b并不是独立的，所以不能用p(a,b)=p(a)*p(b)来计算，要用p(a,b)=p(a|b)*p(b)
那么要计算p(c>a|c>b)，也就是：在c>b的时候，c>a的概率是多少？
当c>b的时候，有两种可能：
1, b>a，那么当然c>a
2, b<a.这时候c>a的可能性1/2
问题是，当c>b的时候，b<a的概率是多大？
这个问题可以转化成:
x<y的时候，x<z的概率是多少？--(1)
这个问题等价于:
x>y的时候，x>z的概率是多少？----(2)
因为问题的对称性，可以看出(2)和(1)实际上是相等的。
(2)也就是：在c>b的时候，c>a的概率是多少？
所以 p(b<a|c>b) = p(c>a|c>b)
也就是说：
p(c>a|c>b) = 1-p(b<a|c>b) + p(b<a|c>b)*1/2
==>p(c>a|c>b) = 1-p(c>a|c>b) + p(c>a|c>b)*1/2
==> x=1-x+x/2
==> p=2/3
所以
p(c>a, c>b) = p(c>a|c>b) * p(c>b)
= 2/3 * 1/2
= 1/3
deminy (未验证)
周二, 2005-11-08 15:45
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看得我一知半解的，不过大体是有点印象了。
<i>[补充说明] 此留言试图回答“<a href="/msg/blog/0000/00000692.php">一个困扰我的概率问题</a>”一文中所提到的问题。有关数学术语的解释请参见<a href="/msg/guestbook/0000/00000215.php">此页</a>。</i>
Sunny (未验证)
周三, 2005-11-09 15:12
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听Ben一席话, 我又仿佛复习了下Dr. Fung的205
deminy (未验证)
周三, 2005-11-09 15:35
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所以早毕业早结束受罪早好。
dreamhill (未验证)
周四, 2005-11-10 07:56
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BEN ?然??得好像很??，但看?聿幌袼闶桨桑
假若字母有 12 ??，你可以代入??l算式??幔
我看?O也不明白呢！
deminy (未验证)
周四, 2005-11-10 08:44
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他用的是概率教材里面的数学表达方式，学完概率的人绝大多数都会逐渐淡忘这些复杂的数学表达的。
另外，如果是很多字母，也可以用相应的数学表述方式来表述的。就像我们表述从1到n的累加，可以用<i>1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n</i>来表述，也可以用简约的类似<i>sum(1...n)</i> 或者 <img src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/Sum/equation3.gif" alt="sum" align="center" />的方式来表述。
Marshal (未验证)
周四, 2005-11-10 15:08
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从数学推理的角度，Ben得出的p(b<a|c>b) = p(c>a|c>b)不是很严谨。
我现这样解，在c>b的情况下，a有三种情况，a>c,c>a>b,b>a, 每种情况都是1/3的
概率。 所以p(c>a|c>b)=2/3，剩下的问题借用ben的公式就行了。
deminy (未验证)
周四, 2005-11-10 15:50
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均分三段。帅。这是关于<a href="/msg/blog/0000/00000692.php">解法二</a>为什么不对的最简捷的解释。
另外，从你前面（均分三段）的分析可以看出，Ben说的还是对的，p(b<a|c>b) = p(c>a|c>b)，都有2/3的可能性（在c>b的情况下）；即使抛开你前面的分析，从对称的角度来讲，Ben说的（和所作的数学推论）也还是对的。（其实在我看来，Ben的推理比你的严谨 :D）
<i>[补充说明1] p(x)表示事件x发生的概率；p(x|y)表示当事件y发生时，事件x发生的概率有多大。当事件x和y相互独立（相互不依赖）的时候，p(y|x)=p(y)。符号"|"在这里表示条件关系，而不是编程当中的“或”的关系。
所以此处p(b<a|c>b)表示当c>b时，b<a的可能性有多大。答案是2/3，而不是1/2。
另外，p(x, y)表示事件x和事件y都成立的概率有多大。因此，p(c>a, c>b)表示c>a且c>b（也就是说c是三者中最大）的可能性有多大。
[补充说明2] 见附图
<img src="/images/blog.692.abc.jpg" alt="ABC" /></i>
zjw (未验证)
周三, 2005-11-09 03:58
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简直不敢相信，殷兄的数学退步的令人惊讶。更何况概率初中大学都是学过又学的东西。难道说米国的基础教育正这么差？hoho..ben的解法太复杂了，这道题目换一种思维想就清楚了，abc排列组合，c排在第一位的概率是多少。这是最简单的概率问题。
deminy (未验证)
周三, 2005-11-09 05:44
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把我的问题再看看，你没理解全。
zjw (未验证)
周三, 2005-11-09 04:05
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abd排列组合共有p33种（两个3一个上一个下），c在最前面的有p22种，p22/p33= 1/3 ，我侄子的小学数学题都比这难。: p
deminy (未验证)
周四, 2005-11-10 16:24
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<i>[补充说明] 此留言讨论“<a href="/msg/blog/0000/00000692.php">一个困扰我的概率问题</a>”一文中所提到的问题。</i>
dreamhill (未验证)
周三, 2005-11-09 10:17
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zjw, 你??诱f也?Α
但若果不止 3 ??字母又如何？
例如 a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k
那要你求它??的 排列?合 和 某一??字母的排最前面次?担?蚁肽阌?得?也大起?砟兀
deminy (未验证)
周三, 2005-11-09 14:30
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这没问题，字母太多的话，我可以用<a href="http://www.fadshop.net/squirrel/home34.htm" target="_blank">人工神经网络模型</a>去分析这个问题的。（反正最多也只有26个字母）
<i><font size="-1">纯属玩笑</font></i>
zjw (未验证)
周三, 2005-11-09 18:09
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一个道理的，n个字母就是p(n-1,n-1)/pnn= 1/n.这就从公式上验证了殷兄的解法一。如果其中有两个字母是固定的，比如c最大，D最小，那就是P(N-2,N-2)/PNN=1/N(N-1).以次列推。
deminy (未验证)
周三, 2005-11-09 18:23
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是地。
ZJW (未验证)
周三, 2005-11-09 18:20
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斗胆发问，大家不会是不知道PNN的意思吧？PNN是指N个字母排列组合，PNN=1*2*.......*N
zjw (未验证)
周三, 2005-11-09 19:07
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刚才msn上遇上殷兄说起为什么解法2不对的问题。我想是这样的。掷硬币乘法原理只能适用于相互独立的事件，比如说掷硬币，连续两次正面的概率是多少，这时候第一次掷硬币根第2次是相互独立的，所以可以用乘法原理1/2 * 1/2=1/4来计算。而ABC问题中，BAC是相互关联的，当C>A的时候，C>B的概率不再是1/2，总共可能出现
C>A>B,C>B>A,。B>C>A三种情况，概率为2/3.因此在相互关联的事件中是不适用乘法原理的。故解法2不对。
deminy (未验证)
周四, 2005-11-10 16:50
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很对。这和<a href="/msg/guestbook/0000/00000215.php">王成的解释</a>是一致的。
mfd (未验证)
周四, 2005-11-10 23:58
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我想回答问题,但我没有主页.qq吧,它是147342864.请deminy问我一些好回答的,有意思的问题,请不要用太时尚的词,我可能不懂.还有,请不要等我上qq时才问我,因为我不常使用它.别介意,其实我是不常使用网上联系工具.
祝你学习顺利!
deminy (未验证)
周五, 2005-11-11 00:55
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要答题的话点<a href="/msg/blog/0000/00000695.php">这里</a>。我不用QQ的，所以没法上QQ告诉你了。
祝你顺利!
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